Algebra de Boole y teorema de Morgan

Algebra de Boole

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen un área de las matematica que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribucion y computadora, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

En el presente trabajo se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,
haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma funcion. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas, por tener más operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas, el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variable y lo hace en menor tiempo. Como solución a este problema, se plantea un metodo de simplificación, que hace uso de unos diagrama especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder  trabajar adecuadamente sólo con pocas variables.
Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación presentado en la lógica de proposiciones.

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

• Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
• Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
• Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
• Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
• Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
• Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Teorema 1: A + A = A

Teorema 2: A · A = A

Teorema 3: A + 0 = A

Teorema 4: A · 1 = A

Teorema 5: A · 0 = 0

Teorema 6: A + 1 = 1

Teorema 7: (A + B)' = A' · B'

Teorema 8: (A · B)' = A' + B'

Teorema 9: A + A · B = A

Teorema 10: A · (A + B) = A

Teorema 11: A + A'B = A + B

Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'

Teorema 13: AB + AB' = A

Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'

Teorema 15: A + A' = 1

Teorema 16: A · A' = 0

TEOREMA 1
Ley Distributiva
A (B+C) = AB+AC

A	B	C	B+C	AB	AC	AB+AC	A (B+C)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	0	1	1	1
1	1	0	1	1	0	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Leyes de Morgan

En lógica proposicional y álgebra de boole, las leyes de morga​ son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.

Las reglas se pueden expresar en español como:

La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.

La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones

En ingeniería electrónica e informática, la ley de De Morgan se escribe comúnmente como:

${\displaystyle {\overline {A\cdot B}}\equiv {\overline {A}}+{\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A+B}}\equiv {\overline {A}}\cdot {\overline {B}}}$

Primer teorema de morgan:

El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables.

 • De forma equivalente: – El complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación AND es equivalente a aplicar la operación OR a los complementos de cada variable. 

• Fórmula para expresar el teorema para dos variables: XY = X + Y

Segundo teorema de morgan:

El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables. 

• De forma equivalente: – El complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación OR es equivalente a aplicar la operación AND a los complementos de cada variable. 

• Fórmula para expresar el teorema para dos variables: X + Y = X Y

    Teorema de morgan para mas de dos variables:

     Los Teoremas de DeMorgan se aplican también a expresiones en las que existen más de dos           variables: XYZ = X + Y + Z 

                 X + Y + Z = XYZ